Énoncé(s) donné(s)Exercice 1
Soit E et F deux espaces vectoriels, u une application linéaire de E dans F, et v une application linéaire de F dans E telles que v $\circ$ u = idE.
1°/ Montrer que Ker (u $\circ$ v) = Ker v
2°/ Montrer que Im ( u $\circ$ v ) = Im u
3°/ Montrer que Ker v $\oplus$ Im u = F
Exercice 2
On définit sur C([0,1],R) le produit scalaire suivant : <f , g> = $\int\limits_{0}^1 f(t)g(t)\, \mathrm{d}t$
Soit F l'espace des fonctions polynomiales.
1°/ Déterminer l'orthogonal de F.
2°/ Soit f définie sur [0,1] par : f(x)=$e^x$. Calculer d(f,F).
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
Sur le deuxième exercice : Utiliser le théorème d'approximation de Weierstrass.
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