Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)
Exo 1 (préparé, environ 15 min.) :
Soit $A \in S_n^{++}(\mathbb{R})$ ensemble des matrices symétriques définies positives à coefficients réels et on note ses valeurs propres $\lambda_1 \leq ... \leq \lambda_n$
Pour$X,Y \in M_{n,1}(\mathbb{R})$ on pose $ \langle X,Y \rangle =  ^tXY$
a) Montrer qu'il existe un unique $B \in S_n^{++}(\mathbb{R})$ tel que $B ^2=A$.
b) En déduire pour $X \in M_{n,1}(\mathbb{R})$ $ ||X||^4 \leq \langle AX,X \rangle \langle A^{-1}X,X \rangle $. Quand y a-t-il égalité ?
c) On pose pour $t \in [0,1]$ $ f(t) = \langle AX,X \rangle t^2 - (\lambda_1 + \lambda_n)||X||^2t + \langle A^{-1}X,X \rangle \lambda_1 \lambda_n$
Montrer que f s'annule sur [0,1], en déduire $ \langle AX,X \rangle \langle A^{-1}X,X \rangle \leq \frac{(\lambda_1 + \lambda_n)^2}{4 \lambda_1 \lambda_n}||X||^4$
d) Que dire de $X$ s'il y a égalité ? Que se passe-t-il si $A$ a $n$ valeurs propres distinctes ?
Exo 2 (non préparé):
Pour $n$ supérieur à $1$, on pose $I_n = \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{n^3t^2e^{-n^2t^2}}{1+t^2}dt $ montrer que $I_n$ existe et calculer sa limite quand $n \to +\infty$.
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Commentaires divers
1a) Pas de pb, il ne dit rien, semble à peine écouter.
b) Pas de pb, on trouve $ \langle AX,X \rangle = ||BX||^2$ idem pour $A^ {-1}$ puis Cauchy-Schwarz, égalité (CS) ssi X est dans $E_\lambda(A)$ pour un certain $\lambda$
c) L'énoncé ne dit pas qui est $X$. Je prends la précaution de dire $X \neq 0$ car sinon pas un trinôme, il rit au nez "évidemment que $X \neq 0$ car sinon ça ne sert à rien" ... je n'ai pas dit le contraire ... bref $f(0)>0$ OK puis, $f$ étant continue on veut appliquer le TVI. Je n'avais pas réussi à  montrer seul que $f(1)$ était négatif, il me donne l'indication. On écrit $X$ dans une BON de vecteurs propres et $f(1)$ est alors de la forme $\sum_i \alpha_i x_i^2$ où les $\alpha_i$ sont négatifs. Son indication était assez mal formulée ("écrire $X$ comme le vecteur colonne $x_1$ jusqu'à $x_n$"), mais c'était assez facile pour que 1) je trouve tout seul ou bien 2) je corrige de suite son indication ... Pour "en déduire", discriminant positif et OK.
d) Je n'ai pas trouvé, on passe à autre chose.
Tout au long de l'exo, j'énonce les propriétés de $S_n^{++}$ (caractérisation via le spectre, lien avec le PS, expression analytique, stabilité par inverse...) sans rien redémontrer et c'est ce qui semble attendu. Il est remarquable que l'on donne la dénomination de $S_n^{++}$ mais pas sa définition, et que l'on ordonne les valeurs propres sans mentionner que la première est strictement positive. En outre l'examinateur semble préférer le vite fait au bien fait ...

2) Existence pas de pb. Je veux appliquer direct la convergence dominée, je prends 5 minutes avant de poser $u=nt$ .... on obtient alors $I_n = \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{u^2e^{-u^2}}{1+\frac{u^2}{n^2}}du $ on domine par la limite simple d'où la limite $I=\int_{-\infty}^{+\infty} u^2e^{-u^2}du$ changement $u=t^2$ après s'être ramené à $[0,+\infty[$ par parité, il faut ensuite reconnaître $\Gamma(3/2)$, que je ne reconnais pas, d'où $I=\Gamma(3/2)$  dont je dis que ça vaut $\frac{\sqrt\pi}{2}$ ...