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Année : 2015
Filière : MP
Concours : Centrale-Supélec
Matière(s) concernée(s) : Mathématiques
Type(s) de sujet(s) : Exercice
Mots-clés relatifs au contenu de l'épreuve : Analyse - Dénombrement - Python
Énoncé(s) donné(s)
Pour $ q,n,p \in \mathbb{N}^3$, on note $B_q(n,p) = \mathrm{card} \left\{(n_1,\ldots , n_p) \in [\![ 0,q]\!]^p,\ \displaystyle\sum_{1}^p n_i = n\right\}$.
1. Que vaut $B_q(n,p)$ quand n > pq ?
2.
a) On pose $A = 1 + X + ... + X^q$. Montrer que $A^p =\displaystyle\sum _nB_q(n,p)X ^n$.
b) En déduire $B_q(n,p+1)$ en fonction des $B_q(i,p)$ pour $i \in [\![ 0,\min(n,q)]\!]$.
3. Écrire une fonction Python permettant de calculer $B_q(n,p)$ pour $n,p,q \in \mathbb{N}^3$.
4.
a) Rappeler sans démonstration le développement en série entière de $1/(1-x)^{q+1}$ et en déduire $B_q(n,p)$ sous forme de somme finie.
b) En déduire une autre fonction Python permettant de calculer les $B_q(n,p)$.
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
Partir de Ap pour 4. a).
Commentaires divers
L'énoncé parle de 1/(1-x)q+1 mais il aurait été plus judicieux de mettre un p.
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