Énoncé(s) donné(s)Soit $(u_{n})$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par :
$u_{n}=\displaystyle \prod_{k=1}^{n}\left(1-\frac{1}{k^2\pi^2}\right)$
1. Calculer quelques valeurs de $u_{n}$ pour $n \in [\![1;10]\!]$ avec un nombre de décimales satisfaisant puis de $\dfrac{1}{u_{10^{n}}}$ pour $n \in [\![1;4]\!]$.
Que peut-on conjecturer ?
2. (a) Soit $f$ et $g$ deux fonctions définies sur $]0;\pi[$ par :
$f(t)=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{2t}{t^2-n^2\pi ^2}$ et $g(t)=\displaystyle \frac{\cos t}{\sin t}-\frac{1}{t}$
Quelle est la limite de $g$ en $0$ ?
Montrer que $f$ et $g$ sont continues sur $[0;\pi[$
(b) Tracer $f(t)$ et $g(t)$ sur $]0;\pi[$. Que peut-on conjecturer ? On admettra ce résultat.
(c) Calculer, pour tout $x \in \left]0,\pi\right[$ : $\lim\limits _{n\rightarrow \infty}\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\ln\left(1-\frac{x^2}{k^2 \pi ^2}\right)$
(On considèrera $G(x)=\displaystyle\int_{0}^{x}g(t)dt$ qu'on calculera de deux façons)
(d) En déduire la limite de $(u_{n})$ quand $n \to +\infty$
Commentaires divers
Un ordinateur avec Pyzo (Python 2.4) et Scilab est à disposition.
29/06/2015 à 15:34