Énoncé(s) donné(s)
Soit $a \in \mathcal L (\mathbb C^n)$ diagonalisable.
On définit $\Pi_h$ (resp. $\Pi_c$) la projection sur la somme des sous-espaces propres de $a$ associés aux valeurs propres de partie réelle non nulle (resp. nulle) parallèlement à la somme des autres sous-espaces propres.
Pour $\begin{array} {ccccc}
x & : & \mathbb R & \to &\mathbb C^n \\
& & x & \mapsto & x(t) \\
\end{array}$ on définit le problème $(C) \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{} x'(t) = a(x(t)) + f(t,x(t)) \\ x(0) = x_0 \\ \end{array} \right.$
On admet le théorème suivant : « $\forall x_0 \in \mathbb C, \exists! \ x \ $solution de $(C)$ ».
(On jongle entre les notations $x(t)$ et $x(t,x_0)$ qui désignent l'unique fonction solution de $(C)$.)
Question 1 :
On suppose dans cette question $f = 0$.
Montrer que $\{ x_0 |\sup_{t \ \in \ \mathbb R} \|\Pi_h(x(t,x_0))\| < + \infty \} = \{ x_0 |\sup_{t \ \in \ \mathbb R} \|x(t,x_0)\|< + \infty \} $.
Question 2 :
On ne suppose plus $f=0$.
On pose $x(t, x_0) = e^{ta}(x_0) + \int_0^t {e^{(t-s)a}(f(s,x(s)))ds}$.
Il s'agissait de montrer que $x$ vérifiait $(C)$, mais je ne me souviens pas de la suite de la question.
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
Question 1 : -
Pour résoudre le problème (C) simplifié, il m'a suggéré de résoudre dans une base adaptée à la diagonalisation de $a$.
-
Il m'a rappelé que choix de la norme importe peu, donc on a pris la norme 2.
Commentaires divers
Examinateur pas méchant, mais pas du tout bavard, c'est assez déstabilisant d'être à court d'idées planté devant le tableau et de voir l'examinateur pianoter sur son ordi...
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