Énoncé(s) donné(s)Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie $n$. On considère $u$ un endomorphisme de E. On note $\chi$ le polynôme caractéristique de $u$
1) Soient $V$ et $W$ deux sous espaces de $E$ stables par $u$ et tels que $E = V \bigoplus W$. En notant $\chi'$ (resp. $\chi''$) le polynôme caractéristique de $u_{|V}$ (resp. $u_{|W}$), montrer $\chi = \chi' \chi''$.
2) On note $\displaystyle \chi = \prod_i P_{i}^{\alpha_{i}}$ la décomposition en facteur irréductibles de $\chi$. Montrer que pour tout $i$, $dim(Ker(P_{i}^{\alpha_{i}}(u)) = \alpha_{i}\ deg P_{i}$.
3) Si le polynôme minimal de $u$ est $\chi$, montrer que pour tout $k \leq \alpha_{i}$, $dim(Ker(P_{i}^{k}(u)) = k\ deg P_{i}$.
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
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