On prépare un exercice pendant 30 minutes, puis on passe 30 minutes au tableau sur ce même exercice. L'épreuve se déroulait sans Maple.
Les deux questions sont indépendantes.
1) a) Soient $P \in \mathbb{Z}[X]$ de degré supérieur ou égal à 1 et $x \in \mathbb{Z}$. On pose p = P(x). On suppose p premier.
Montrer que $\forall k \in \mathbb{Z}, P(x+kp) \equiv P(x) \pmod p$.
Montrer que $\exists k \in \mathbb{Z}, P(x+kp)$ n'est pas premier.
Existe-t-il $P \in \mathbb{Z}[X]$ non constant tel que pour tout entier naturel n (ou à partir d'un certain rang), P(n) est premier ?
b) Pour tout entier n, on note $\omega(n)$ le nombre de diviseurs premiers de n. Soit $P \in \mathbb{Z}[X]$ ; on pose $\Omega(P) = \{\omega(P(n)) | n \in \mathbb{N}, P(n) \neq 0 \}$.
i) On suppose $\Omega(P)$ borné et on note $N = max(\Omega(P))$. Soit $u\in \mathbb{N}$ tel que $\omega(P(u))=N$. On note a = P(u).
montrer que $\forall v \in \mathbb{Z}, P(u+a^2v) \in \{-a,0,a \}$.
ii) Conclure sur le nombre de diviseurs premiers de P(n) pour $n \in \mathbb{N}$.
2) a) Soient p un nombre premier, $\alpha \in \mathbb{N}^*$ et $P \in \mathbb{Z}[X]$.
Soit a une solution dans $\mathbb{Z}$ de l'équation $P(x) \equiv 0 \pmod{p^{\alpha}}$.
Discuter selon les classes de P(a) modulo $p^{\alpha +1}$ et de P'(a) modulo p des solutions du système $\begin{cases} P(x) \equiv 0 \pmod{p^{\alpha +1}} \\ x \equiv a \pmod{p^{\alpha}} \end{cases}$.
b) Résoudre dans $\mathbb{Z}/75\mathbb{Z} : x^3+3x^2-4=0$.
Indication(s) :
1)b)i) Remarquer que P(u+a2v) possède les mêmes diviseurs premiers que a.
On pourra ensuite raisonner par l'absurde, à l'aide de la décomposition en facteurs premiers de a.
2) a) Penser à la formule de Taylor pour les polynômes.
Commentaires divers :
La formulation de la question 1) peut semble étrange, mais l'exercice était posé comme il est présenté ici.
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