Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)
I- (sur 8 points) Exercice 37 d'analyse de la banque :
Soit $f$ la fonction numérique $2\pi$-périodique définie par : $\forall x \in [-\pi, + \pi[$, $f(x) = x^2$.
  1-a- Expliquez pourquoi la série de Fourier de $f$ converge sur $\mathbb{R}$. Précisez la somme de cette série.
  1-b- La série de Fourier de $f$ converge-t-elle normalement sur $\mathbb{R}$ ?
   2-a- Déterminez la série de Fourier de $f$.
  2-b- Déduisez-en la somme de la série $\sum_{n \geq 1} \frac{(-1)^n}{n^2}$.

II- (sur 12 points) Soit $\Delta_n = \: |a_{i,j}|$ le déterminant de taille $n$ défini par $\forall i, \; a_{i,i} = a+b$, $a_{i,i+1}=ab$, $a_{i,i-1}=1$ et $a_{i,j}=0$ sinon ($a$ et $b$ sont des complexes).
  1- Calculer $\Delta_1$, $\Delta_2$ et $\Delta_3$.
  2- Pour $n \geq 3$, exprimer $\Delta_n$ en fonction de $\Delta_{n-1}$ et $\Delta_{n-2}$.
  3- Déterminer, pour $n \geq 1$, une expression de $\Delta_n$ en fonction de $n$, $a$ et $b$.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
N.C.
Commentaires divers
N.C.